НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ РІВНЯННЯ ФРАКТАЛЬНОЇ ДИФУЗІЇ

Завантажити статтю

УДК 517.98

Дрінь Ярослав Михайлович, доктор фізико-математичних наук, професор Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

Дрінь Ірина Ігорівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент Чернівецького торгово-економічного інституту Київського національного торгово-економічного університету, м. Чернівці

Дрінь Світлана Сергіївна, кандидат фізико-математичних наук, старший викладач Національного університету «Києво-Могилянська академія», м. Київ

pages 47-55

DOI: http://doi.org/10.34229/1028-0979-2022-1-5

Протягом останніх кількох десятиліть інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) та рівнянь із такими операторами (ПДР). Авторами нового напрямку теорії ПДР, названого параболічні ПДР з негладкими однорідними символами (ППДР), є Ярослав Дрінь і Самуїл Ейдельман. На початку 70-х років минулого століття вони побудували приклад задачі Коші для модифікованого рівняння теплопровідності, що містить замість оператора Лапласа ПДО, що є його квадратним коренем. Такий ПДО має однорідний символ |σ|, негладкий у початку координат. Фундаментальний розв’язок задачі Коші (ФРЗК) для такого рівняння є точною степеневою функцією. Для рівняння теплопровідності ФРЗК є точною експонентною функцією. Оператор Лапласа можна тлумачити як ПДО з однорідним гладким символом |σ|^2, σ ∈ Rn. Узагальненням рівняння теплопровідності є ППДР, що містять ПДО з однорідними негладкими символами. Вони мають важливе застосування в теорії випадкових процесів, зокрема, при побудові розривних марківських процесів з твірними інтегро-диференціальними операторами, які відносяться до ПДО, у сучасній теорії фракталів, яка останнім часом бурхливо розвивається. Якщо символ ПДО не залежить від просторових координат, то задача Коші для ППДР коректно розв’язна у просторі узагальнених функцій типу розподілів. Розв’язок при цьому записується як згортка ФРЗК із початковою узагальненою функцією. Ці результати належать низці вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема С. Ейдельману та Я. Дріню (які першими визначили ППДО з негладкими символами та розпочали дослідження задачі Коші для відповідних ППДР), М. Федорюку, О. Кочубею, В. Городецькому, Літовченку та ін. Для певних нових класів ППДР доведено коректну розвʼязність задачі Коші у просторі гельдерових функцій, побудовано класичні ФРЗК, отримано точні оцінки їх похідних степеневого характеру [1–4]. Принципово важливим є запропоноване А. Кочубеєм тлумачення ПДО через гіперсингулярні інтеграли (ГСІ). При цьому за відомим символом ПДО будується символ ГСІ і навпаки [6]. Теорія ГСІ, що суттєво розширює клас ПДО, розроблена С. Самком [7]. Це поняття розповсюджено на матричні ГСІ [5]. Узагальненням задачі Коші є нелокальні багатоточкові за часовою змінною задачі та задача з відхиленням аргументу. Тут доведено розвʼязність нелокальної задачі з використанням методу кроків. Розглядаємо еволюційне нелінійне рівняння з регуляризованою фрактальною похідною дробового порядку α ∈ (0, 1] за часовою змінною та еліптичний оператор зі змінними коефіцієнтами просторової змінної. Це рівняння описує фрактальні властивості реальних даних, що виникають у таких прикладних областях, як турбулентність, гідрологія, екологія, геофізика, забруднення середовища, економіка та фінанси.

  1. Drin Ya.M. Investigation of a class of parabolic pseudo-differential operators on classes of Hölder continuous functions. Dopovidi AN UkrSSR. Ser. A. 1974. N 1. P. 19–22 (in Ukrainian). 
  2. Drin Ya.M. The fundamental solution of the Cauchy problem for a class of parabolic pseudo-differential equation. Dokl. UkrSSR. Ser. A. 1977. N 3. P. 189–203 (in Russian). 
  3. Drin Ya.M., Eidelman S.D. Necessary and sufficient conditions for stabilization of solutions of the Cauchy problem for parabolic pseudo-differential equations. In Approximate methods of mathematical analysis. 1974. 1. P. 60–69 (in Russian). 
  4. Drin Ya.M., Eidelman S.D. Construction and investigation of classical fundamental solution of the Cauchy problem for uniformly parabolic pseudo-differential equations. Math. Issled. 1981. 63. P. 18–33 (in Russian). 
  5. Drin Ya.M., Eidelman S.D. On the theory of systems of parabolic pseudo-differential equations. Dokl. AN UkrSSR. Ser. A. 1989. N 4. P. 35–37 (in Russian). 
  6. Kochubei A.N. Parabolic pseudo-differential equations, hypersingular integrals and Markov processes. Mat. USSR Izvestiya. 1989. 33. P. 233–259.
  7. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integral derivatives: theory and applications, New York : Gordon and Breach Science Publishers, 1993. 973 p.
  8. Wyss W. The fractional diffusion equation. J. Math. Phys. 1986. 27. P. 2782–2785.  https://
    doi.org/10.1063/1.527251
  9. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations. J. Math. Phys. 1989. 30. P. 134–144. https://doi.org/10.1063/1.528578.
  10. Kochubei A.N. Diffusion of fractal order. J. Diff. Eqs. 1990. 26. P. 485–492.
  11. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation. Part I, II. Osaka J. Math. 1990. 27. P. 309–321; 797–804.
  12. Pschu A., Rekhviashvili S. Fractional diffusion-wave equation with application in electrodynamics. Mathematics. 2020. 8. 2086 p. doi: 10.3390/math8112086.
  13. Nigmatulin L.L. Fractional integral and its physical interpretation. Theor. and Math. Physics. 1992. 90, N 3. P. 242–251. doi: 10.1007/BF01036529.
  14. Serbina L.I. Non-local mathematical models of transport in aquifer systems. Moscow : Nauka, 2007. 167 p.
  15. Babenko Y. Method of fractional differentiation in applications of the theory of heat and mass transfer. St. Petersburg : NPO «Professional». 2009. 584 p. (in Russian).
  16. Angelsky O.V., Maksimyak P.P., Ryukhtin V.V., Hanson S.G. New feasibilities for characterizing rough surfaces by optical-correlation techniques. Applied Optics. 2001. 40, N 31. P. 5693–5707.
  17. Angelsky O.V., Burkovets D.N., Kovalchuk A.V., Hanson S.G. Fractal description of rough surfaces. Applied Optics. 2002. 41, N 22. P. 4620–4629.
  18. Angelsky O.V., Burkovets D.N., Maksimyak P.P., Hanson S.G. Applicability of the singular-optics concept for diagnostics of random and fractal rough surfaces. Applied Optics. 2003. 42, N 22. P. 4529–4540.
  19. Spectral and selective laser autofluorescent microscopy of blood films. Yu. Tomka, M. Gorsky, I. Soltys, M. Talakh, Ya. Drin, O. Yatsko, O. Dubolazov, V. Prisyaznyuk, B. Bodnar, M. Shaplavskiy. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2529321.
  20. Muller-matrix invariants of linear and circular birefringence of polycrystalline films of biological liquids pathologically and necrotic changed human bodies. M. Grytsyuk, Yu. Tomka, M. Gorsky, I. Soltys, M. Talakh, Ya. Drin, O. Yatsko, P. Gurina, M. Garazdyuk, P. Litvinenko, O. Dubolazov. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2529186.
  21. Jones matrix mapping of polycrystalline networks of layers of main types of amino acids. V.D. Mishalov, V.T. Bachinsky, O.Ya. Vanchuliak, A.Y. Zavolovitch, Yu.V. Sarkisova, A.G. Ushenko, S.V. Pavlov, O.V. Dubolazov, V.A. Ushenko, A.V. Motrich, Ya.M. Drin, A. Kociubinski, M. Kalmoldayev. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2536245. 
  22. Methods and means of «single-point» phasometry of microscopic images of optical-anisotropic biological objects. N. Pavlyukovich, O.V. Pavlyukovich, O.V. Dubolazov, Yu.A. Ushenko, Yu.Ya. Tomka, N.I. Zabolotna, I.V. Soltys, Ya.M. Drin, T.V. Knignitska, M.V. Talakh, A.Ya. Dovgun, A. Kotyra, A. Kozbakova. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2537168. 
  23. Drin I.I., Drin S.S., Drin Ya.M. Representation of solution for fully nonlocal diffusion equations with deviation time variable. Proc. of SPIE. 2018. doi: 10.1117/12.2304312.
  24. Drin Ya.M., Petryshyn R.I. Nonlocal problem for autonomous quasilinear parabolic pseudodifferential equations with deviating argument. J. of Math. Sci. 2016. 217, N 4. P. 427–440. doi: 10.1007/s10958-016-2983-y. 
  25. Drin Ya.M., Petryshyn R.I. Cauchy problem for autonomous quasilinear parabolic pseudodifferential equations with deviating argument. J. of Math. Sci. 2014. 197, N 1. P. 29–38, doi: 10.
    1007/s10958-14-1699-0.
  26. Drin Ya.M. Classical solvability of direct and inverse boundary value problems for parabolic pseudodifferential equations with variable inhomogeneous symbol. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. 46, N 12. P. 27–35. doi: 10.1615/ JautomatInfScien.v46.i12.40.
  27. Horodets’kyi V.V., Drin Ya.M. Multipoint (in time) problem for one class of evolutionary pseudodifferential equations. Ukrainian Mathematical Journal. 2014. 66, N 5. 690 p. doi: 10.1007/
    s11253-014-0965-0.
  28. Gorodetsky V.V., Drin Ya.M. Time-nonlocal two-point problem and optimal control problem for evolutionary pseudodifferential equations. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. 46, N 4. P. 20–37. doi: 10.1615/JautomatInfScien.v46.i4.30.
  29. Drin Ya.M. Nonlocal problem for one class equations of diffusion in space of generalized functions. Proc. of SPIE. 2013. 12 p. doi: 10.1117/12.2052898.
  30. Gorodetsky V.V., Drin Ya.M. Investigation of Cauchy and nonlocal problems of diffusion equation. Proc. of SPIE. 2013. doi: 10.1117/12.2049042.
  31. Gorodetskii V.V., Drin Ya.M. Method of hybrid integral transforms for analyzing direct and
    inverse problems for a class of equations with a pseudodifferential operator. Differential Equations. 2013. 49, N 4. P. 468–474. doi: 10.1134/ S0012266113040071.
  32. Drin Ya.M., Ushenko V.A., Drin I.I., Drin S.S. Representation of solution for fractional kinetic equations with deviation time variable. Fourteenth International Conference on Correlation Optics. Proc. of SPIE. 2019. doi: 10.1117/12.2554987.
  33. Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. Moscow : Higher School, 1995. 301 p. (in Russian).
  34. Nakhushev A.M. Fractional calculus and its application. Moscow : Fizmatgiz, 2003. 272 p. (in Russian).
  35. Nakhusheva V.A. Differential equations of mathematical models of non-local processes. Moscow : Nauka, 2006. 173 p.
  36. Povstenko Y.Z. Termoelasticity which uses fractional heat conduction equation. Mat. Methods and Physics-fur. field. 2008. 51, N 2. P. 239–246.
  37. Povstenko Y.Z. Theory of termoelasticity based on the space-time-fractional heat conduction equation. Phys. Scr. 2009. 136 (014017). 6 p. doi:10.1088/0031-8949/2009/T136/014017.
  38. Povstenko Y.Z. Non-axisymmetric solutions to time-fractional heat conduction equation in a half-space in cylindrical coordinates. Math. Methods Phys.-mech. fields. 2011. 54, N 1. P. 212–219. 
  39. Povstenko Y.Z. Fundamental solutions to Robin boundary-value problems for the time-fractional heat-conduction equation in a half line. Journal Mathematical Sciences. 2013. 194. P. 322–329. 
  40. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Birkhäuser Verlag, 2004. 390 p. doi: 10.1007/
    978-3-0348-7844-9
    .
  41. Matiychuk M.I. On parabolic and elliptic boundary value problems on Dini space: monograph. Chernivtsi, 2010. 248 p.
  42. Matiychuk M.I. Parabolic singular value problems. Kyiv : Institute of Mathematics. 1999. 175 p.
  43. Timan A.F. The theory of approximations of a real variable functions. Moscow : Fizmatgiz, 1960. 624 p. (in Russian).